(4)条件4：公民主权

　　个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。

　　(5)条件5：非独裁

　　在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。[④]

　　综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。

　　接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。

　　按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：

　　1号：中餐>西餐>日本餐

　　2号

　　3号　日本餐>中餐>西餐

　　4号

　　5号

　　6号　西餐>日本餐>中餐

　　7号

　　由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5-7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。

　　阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。

　　就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔(C.Campbell)和塔洛克(G.Tullock)。

　　坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7%；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50%。[⑤]也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。

　　此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。由于阿罗是世界著名的数理经济学家，其著作中有大量的数学推导，而笔者的数学基础又实在是非常薄弱，根本难以看懂其著作。但是，为了更好地了解公共选择理论，笔者还是尝试去理解阿罗不可能定理的基本内容，希望自己能够了解这个理论。到目前为止，笔者对阿罗不可能定理的理解只能达到这种程度，实在不敢再对其理论枉加评述。

　　阿罗不可能定理表明：根本不存在能够满足集体选择最低限度合理要求的加总程序。也就是说，除非在非常简化和非现实的情形中，我们不可能以任何逻辑或有序的方式加总偏好。

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